Cooper nació en Greenwich (Londres). Es hijo de Julie Cooper, una maestra de enfermería. Asistió a la Thomas Tallis School (Escuela Thomas Tallis) y posteriormente a la Academia de Música y Arte Dramático de Londres "LAMDA", de donde se graduó en 2000. CarreraCooper trabajó en televisión y en cine antes de realizar su debut teatral en la obra Mother Clap's Molly House en el Royal National Theatre en 2001.Cooper participó en la obra de Alan Bennett The History Boys. También realizó giras con la producción a Broadway, Sídney, Wellington (Nueva Zelanda) y Hong Kong, además de aparecer en la adaptación radial y la adaptación cinematográfica. Cooper fue nominado a un premio Drama Desk Award en 2006 por su trabajo en esta obra.Cooper participó en la adaptación del Royal National Theatre de la trilogía La materia oscura, donde interpretó a Will Parry. También actuó en las series de televisión Down to Earth y Sense and Sensibility. También es conocido por su trabajo en la película Mamma Mia! donde interpretó a Sky. En 2011, interpretará a Howard Stark, el padre de Tony Stark/Iron Man, en la pelicula Captain America: The First Avenger.